확률론

확률론은 결과를 미리 확정할 수 없는 현상에서 가능한 결과와 그 가능성을 수학적으로 다루는 분야다.

동전 던지기처럼 단순한 실험부터 날씨, 통신 오류, 질병 검사, 보험 손실과 기계 고장처럼 복잡한 현상까지 공통된 언어로 표현한다.

확률은 무지를 숫자로 꾸미는 도구가 아니라 불확실성을 어떤 가정 아래 측정했는지 분명히 만드는 방법이다.

같은 자료를 보더라도 가능한 결과의 범위, 정보의 조건, 반복 방식과 모형이 다르면 확률도 달라질 수 있다.

따라서 계산 결과뿐 아니라 무엇을 사건으로 정했고 어떤 가정을 사용했는지 설명하는 일이 중요하다.

확률 실험에서 나올 수 있는 모든 기본 결과의 모음을 표본공간이라고 한다.

주사위 하나를 던질 때 표본공간을 1부터 6까지의 눈으로 나타낼 수 있고, 짝수가 나오는 사건은 2, 4, 6이라는 결과의 모음으로 표현할 수 있다.

사건은 표본공간의 일부이며 여러 사건을 합치거나 겹치는 부분을 찾을 수 있다.

사건 A 또는 B가 일어나는 경우는 합집합, A와 B가 함께 일어나는 경우는 교집합으로 나타낸다.

어떤 사건이 일어나지 않는 경우는 여사건이라 하며, 전체 가능성에서 해당 사건을 제외한 부분이다.

확률은 일반적으로 0과 1 사이의 값을 갖는다.

불가능한 사건의 확률은 0이고 표본공간 전체의 확률은 1이다.

서로 동시에 일어날 수 없는 사건들을 합친 확률은 각 사건 확률의 합과 같다는 규칙이 확률 계산의 기초를 이룬다.

가능한 결과가 유한하고 모두 같은 가능성을 가진다고 가정하면 유리한 결과의 수를 전체 결과 수로 나누어 확률을 구할 수 있다.

공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6으로 계산하는 것이 대표적인 고전적 접근이다.

하지만 실제 결과가 같은 가능성을 가진다는 사실은 계산만으로 보장되지 않는다.

주사위의 무게가 치우쳤거나 던지는 장치에 규칙이 있으면 각 눈의 확률은 달라질 수 있다.

대칭성은 유용한 가정이지만 물리적 조건과 실험 설계를 확인해야 한다.

빈도 해석에서는 같은 조건의 실험을 매우 많이 반복할 때 사건이 일어나는 비율이 일정한 값에 가까워진다고 본다.

짧은 구간에서는 앞면이 연속으로 나올 수 있지만 시행 횟수가 커지면 상대도수가 이론적 확률 주변에서 안정되는 경향이 있다.

이 경향은 다음 결과 하나가 무엇인지 알려 주는 예언과는 다르다.

조건부확률은 어떤 정보가 주어졌을 때 사건의 가능성을 다시 계산한 값이다.

전체 학생 가운데 안경을 쓴 비율과 특정 학년 학생 가운데 안경을 쓴 비율은 서로 다를 수 있다.

조건이 붙으면 비교 대상이 되는 표본공간 자체가 좁아진다.

사건 B가 일어났다는 조건 아래 사건 A의 확률은 A와 B가 함께 일어난 확률을 B의 확률로 나누어 구한다.

B의 확률이 0이면 이 단순한 정의를 적용할 수 없다.

조건부확률은 새로운 정보가 판단의 기준 집단을 어떻게 바꾸는지 수식으로 보여 준다.

두 사건이 독립이라는 말은 한 사건의 발생 여부가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻이다.

독립과 서로 배타적이라는 개념은 다르다.

서로 배타적인 두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 한 사건이 일어나면 다른 사건은 일어날 수 없다는 강한 정보가 생긴다.

베이즈 정리는 조건의 방향을 바꾸어 확률을 계산하는 관계식이다.

원인이나 가설이 주어졌을 때 관찰 결과가 나타날 확률과, 관찰 결과가 주어졌을 때 원인이나 가설이 맞을 확률을 연결한다.

의료 검사를 예로 들면 질병이 있을 때 양성이 나올 확률만으로 양성인 사람이 실제로 질병을 가질 확률을 알 수 없다.

질병의 기본 발생률, 질병이 없는데도 양성이 나오는 비율을 함께 고려해야 한다.

드문 질병에서는 검사가 상당히 정확하더라도 양성 결과 가운데 거짓 양성이 적지 않을 수 있다.

베이즈 접근에서는 관찰 전의 믿음이나 빈도를 사전확률로 표현하고 자료를 관찰한 뒤 사후확률로 갱신한다.

사전확률의 선택이 결과에 영향을 주므로 근거와 민감도를 공개하는 것이 중요하다.

자료가 충분히 쌓이면 서로 다른 합리적 사전확률의 영향이 줄어드는 경우도 있지만 모든 문제에서 자동으로 사라지는 것은 아니다.

확률변수는 실험 결과에 숫자를 대응시키는 함수다.

동전을 세 번 던졌을 때 앞면의 개수를 0부터 3까지의 값으로 나타내면 각 복잡한 결과를 관심 있는 수량으로 요약할 수 있다.

이산확률변수는 셀 수 있는 값들을 가지며 각 값에 확률을 배정한다.

연속확률변수는 길이, 시간, 온도처럼 구간 안의 값을 다룬다.

연속분포에서는 정확히 한 점의 확률이 0일 수 있고, 특정 구간에 들어갈 확률을 밀도 아래의 넓이로 계산한다.

기댓값은 확률변수의 가능한 값을 확률로 가중해 평균한 값이다.

많은 시행에서 얻을 평균적인 수준을 나타내지만 한 번의 실제 결과가 기댓값과 같다는 뜻은 아니다.

복권의 기대 당첨금이 일정한 값이라고 해서 그 금액을 실제로 받을 가능성이 높다는 결론은 나오지 않는다.

분산은 값들이 기댓값 주변에 얼마나 퍼져 있는지를 나타낸다.

표준편차는 분산의 제곱근으로 원래 변수와 같은 단위를 사용한다.

평균이 같은 두 선택이라도 분산이 다르면 손실과 변동의 위험이 크게 다를 수 있다.

베르누이분포는 성공과 실패처럼 두 결과를 갖는 한 번의 시행을 표현한다.

서로 독립이고 성공확률이 같은 베르누이 시행을 정해진 횟수만큼 반복해 성공 횟수를 세면 이항분포가 나타난다.

포아송분포는 일정한 시간이나 공간에서 드물게 발생하는 사건의 횟수를 모형화할 때 사용된다.

사건 발생이 서로 독립이고 평균 발생률이 일정하다는 등의 가정이 필요하다.

실제 자료에서 사건이 몰리거나 시간대에 따라 발생률이 바뀌면 다른 모형이 더 적절할 수 있다.

정규분포는 평균을 중심으로 좌우가 대칭인 종 모양의 연속분포다.

여러 작은 요인이 더해진 측정값에서 근사적으로 나타나는 경우가 많고 계산이 편리해 널리 쓰인다.

모든 자료가 정규분포를 따르는 것은 아니며 극단값이 잦거나 한쪽으로 치우친 자료에 기계적으로 적용하면 잘못된 판단을 낳는다.

지수분포는 일정한 발생률을 가정한 사건 사이의 대기시간을 나타내는 데 쓰인다.

이미 얼마나 기다렸는지가 앞으로의 대기시간 분포를 바꾸지 않는 무기억성이 특징이다.

기계 부품의 노화처럼 시간이 지날수록 고장률이 변하는 현상에는 이 성질이 맞지 않을 수 있다.

큰 수의 법칙은 적절한 조건에서 독립적인 관측을 많이 평균하면 그 평균이 기댓값에 가까워진다는 내용이다.

이는 장기간의 평균이 안정되는 이유를 설명하지만 손실이 반드시 단기간에 회복된다는 뜻은 아니다.

도박사의 오류는 앞선 결과가 다음 독립 시행을 보상할 것이라고 믿는 착각이다.

공정한 동전에서 앞면이 여러 번 연속으로 나왔더라도 다음 한 번의 뒷면 확률은 그대로다.

장기 비율의 안정과 짧은 연속 결과의 보상은 다른 주장이다.

중심극한정리는 많은 독립적인 확률변수의 합이나 평균이 조건에 따라 정규분포에 가까워진다는 결과다.

원래 변수의 분포가 정규분포가 아니어도 평균의 분포를 근사할 수 있게 해 통계적 추론의 토대가 된다.

다만 표본 크기, 독립성, 분산의 존재와 꼬리의 형태를 살펴야 한다.

확률론은 모형과 가정이 주어졌을 때 어떤 자료가 나타날지 계산하는 방향으로 이해할 수 있다.

통계학은 관찰된 자료에서 모형의 매개변수나 가설을 추론한다.

두 분야는 방향이 다르지만 실제 분석에서는 긴밀히 연결된다.

표본은 모집단의 일부이므로 우연한 변동을 포함한다.

표본추출 방식이 치우치면 표본 수가 커도 모집단을 제대로 대표하지 못한다.

확률표본의 설계와 누락, 무응답, 측정 오류를 함께 검토해야 계산된 오차 범위가 의미를 가진다.

상관관계가 높다고 해서 한 변수가 다른 변수의 원인이라는 결론은 나오지 않는다.

공통 원인, 선택 편향, 시간 순서와 우연한 일치가 있을 수 있다.

확률 모형은 관계의 불확실성을 표현하지만 인과관계는 연구 설계와 추가 가정이 필요하다.

의사결정에서는 결과의 확률뿐 아니라 결과가 주는 가치나 손실을 함께 고려한다.

기대효용은 각 결과의 효용을 확률로 가중해 선택을 비교하는 생각이다.

같은 금액의 이익과 손실을 사람들이 대칭적으로 느끼지 않을 수 있어 단순 기대금액만으로 행동을 설명하기 어렵다.

보험은 많은 가입자의 불확실한 손실을 모아 개인의 큰 위험을 정기적인 비용으로 바꾸는 장치다.

보험자는 발생 빈도와 손실 규모를 추정하고, 가입자는 감당하기 어려운 손실을 이전한다.

서로 위험 수준을 다르게 알고 행동이 바뀌는 역선택과 도덕적 해이도 고려해야 한다.

공학에서는 고장 확률, 안전 여유와 여러 부품의 의존 관계를 분석한다.

부품 각각의 고장확률이 작아도 같은 원인으로 동시에 고장 날 수 있다.

독립 가정을 무심코 적용하면 전체 시스템의 위험을 과소평가할 수 있다.

확률 수치는 조건 없이 해석할 수 없다.

비가 올 확률이라는 표현에는 어느 지역, 어느 시간 구간, 어떤 기준의 강수를 뜻하는지가 포함되어야 한다.

예측 기관과 모형이 정의한 사건을 확인하지 않으면 같은 숫자를 서로 다르게 이해할 수 있다.

상대위험과 절대위험도 구분해야 한다.

어떤 위험이 두 배가 되었다고 해도 원래 확률이 매우 작다면 절대적인 증가는 작을 수 있다.

반대로 작은 상대 변화라도 흔한 사건에서는 많은 사람에게 영향을 줄 수 있다.

확률이 낮다는 말은 불가능하다는 뜻이 아니고, 확률이 높다는 말도 확실하다는 뜻이 아니다.

좋은 판단은 한 번의 결과로 예측을 성급히 평가하지 않고 장기간의 정확도, 확률 구간별 실제 발생 비율과 모형의 한계를 함께 살핀다.

예측 확률의 품질은 실제 발생 비율과의 일치뿐 아니라 서로 다른 상황을 얼마나 잘 구분하는지도 살펴야 한다.

항상 비슷한 확률만 제시하면 평균적으로 맞아 보이더라도 중요한 위험의 차이를 알려 주지 못할 수 있다.

확률 예측에는 값 하나와 함께 기준 시점, 자료 범위, 불확실성 및 갱신 조건을 기록하는 것이 좋다.

확률론은 우연을 없애는 학문이 아니라 우연 속에서도 비교하고 학습할 수 있는 규칙을 제공한다.

모형의 가정, 자료의 생성 과정과 판단의 목적을 분명히 할 때 확률은 불확실한 세계에서 책임 있게 결정하기 위한 강력한 언어가 된다.